You need to create an 16-sign "Google app password" in your google account to login with form above.
Для этой формы нужно использовать "пароль приложения", а не обычный пароль. Его можно создать в аккаунте Google в разделе Безопасность (потребуется включить двухфакторную авторизацию). В качестве логина используется полный e-mail c "собакой"
Для входа без ввода пароля создайте закладку на страницу вида http://dz09.pp.ua/mail/src/login.php?loginname=ivan.ivanov@gmail.com&password=***